Question

14．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，当x，y取何值时，x²+y²取得最大值，最小值？最大值，最小值各是多少？

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，x²+y²可看成阴影部分内的点到原点的距离的平方，从而解最值．

解答 解：由题意作出其平面区域，

x²+y²可看成阴影部分内的点到原点的距离的平方，由图可知，
当取点B时有最大值，
由y=3x-3与x=2y-4联立解得，
x=2，y=3；即B（2，3）；
所以当x=2，y=3时，x²+y²的最大值为2²+3²=13，
原点到直线y=-2x+2的距离的平方是其最小值，
d=$\frac{2}{\sqrt{4+1}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以x²+y²最小值是$（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}=\frac{4}{5}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$，即x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$时，x²+y²的最小值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了简单线性规划，关键是作图要细致认真，利用目标函数的几何意义求最值；属于中档题．