Question

如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求证：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）若D₁D=BD，求四棱锥D-A₁BCD₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
所以BC=1，∠DBC=90°，可得AD⊥BD，
因为几何体是四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以A₁D₁⊥B₁D₁，
又D₁D⊥底面ABCD，所以AD⊥D₁D，可得A₁B₁⊥D₁D，
又B₁D₁∩D₁D=D₁，
所以A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，A₁D₁?平面A₁BCD₁，
∴平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，四棱锥D-A₁BCD₁的体积转化为三棱锥A1-DD₁B与C-DD₁B的体积的和，而且两个体积相等，
∵AD=1，CD=2，∠DCB=60°．所以BD=，D₁D=BD=，
∴===．
所以是棱锥的体积为2×=1．
分析：（Ⅰ） 由D₁D⊥平面ABCD，可证 D₁D⊥AD．△CBD 中，勾股定理可得 CB⊥BD，由线面垂直的判定定理可证A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，再由平面与平面垂直的判定定理可证平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，四棱锥D-A₁BCD₁的体积转化为两个三棱锥的体积求解即可．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想与计算能力．