Question

抛物线方程为y²=8x，其焦点为F，过F的直线l与抛物线交于两点A、B，它们的坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=

 

，y₁y₂=

 

．

Answer 1

分析：设AB的斜率为k，由点斜式求得AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系可得x₁x₂=4，y₁y₂=-16；当AB的斜率不存在时，AB的方程为x=2，代入抛物线方程也可得到x₁x₂和y₁y₂ 的值．

解答：解：由题意可得F（2，0），设AB的斜率为k，则AB的方程为 y-0=k（x-2）．
代入抛物线方程y²=8x可得 k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，∴由根与系数的关系可得 x₁x₂=4．
把AB的方程代入抛物线方程还可得到 y2-

8

k

y-16=0，∴由根与系数的关系可得y₁y₂=-16，
当AB的斜率不存在时，AB的方程为x=2，代入抛物线方程也可得到x₁x₂=4，y₁y₂=-16．
故答案为：4，-16．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，直线和圆锥曲线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，
属于中档题．