Question

1£®ÔÚƽÃæÖ±½Ç×ø±êϵÖУ¬OΪ×ø±êÔ­µã£¬A£¬B£¬CÈýµãÂú×ã$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$£®
£¨1£©ÇóÖ¤£ºA£¬B£¬CÈýµã¹²Ïߣ¬²¢Çó$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$µÄÖµ£»
£¨2£©ÉèA£¨1£¬sinx£©£¬B£¨1+cosx£¬2sinx£©£¬x¡ÊR£¬Çóº¯Êýf£¨x£©=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$µÄ×î´óÖµ£®
£¨3£©ÈôA£¨1£¬cosx£©£¬B£¨1+cosx£¬cosx£©£¬x¡Ê£¨-$\frac{¦Ð}{2}$£¬$\frac{¦Ð}{2}$£©£¬ÇÒº¯Êýg£¨x£©=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+£¨2m+$\frac{2}{3}$£©•|$\overrightarrow{AB}$|µÄ×îСֵΪ$\frac{1}{2}$£¬ÇóʵÊýmµÄÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÇóÖ¤£ºA¡¢B¡¢CÈýµã¹²Ïߣ¬¿ÉÖ¤ÓÉÈýµã×é³ÉµÄÁ½¸öÏòÁ¿¹²Ïߣ¬ÓÉÌâÉèÌõ¼þ²»Äѵõ½£¬±äÐμ´¿ÉµÃµ½Á½ÏòÁ¿Ä£µÄ±ÈÖµ£»
£¨2£©ÓÉÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýµÄÔËË㣬µÃµ½f£¨x£©=-2£¨cosx-$\frac{1}{4}$£©²+$\frac{25}{3}$£¬¸ù¾ÝÈý½Çº¯ÊýºÍ¶þ´Îº¯ÊýµÄÐÔÖʼ´¿ÉÇó³ö×î´óÖµ£»
£¨3£©ÓÉÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýµÄÔËË㣬ģµÄ¼ÆË㣬µÃµ½g£¨x£©=£¨cosx+m£©²+1-m²£¬ÅжÏÆä×îֵȡµ½µÄλÖã¬ÁîÆä×îСֵΪ$\frac{1}{2}$£¬ÓɲÎÊý¼´¿É£¬

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ß$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$£¬
¡à$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$£¬
¡à$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$£¬
¡à$\overrightarrow{AC}$¡Î$\overrightarrow{BA}$£¬
¡ß$\overrightarrow{AC}$£¬$\overrightarrow{BA}$Óй«¹²µãA£¬
¡àA£¬B£¬CÈýµã¹²Ïߣ®
¡ß$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$£¨$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AC}$£©£¬
¡à5$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BC}$£¬
¡à$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$=$\frac{2}{5}$£»
£¨2£©¡ßA£¨1£¬sinx£©£¬B£¨1+cosx£¬2sinx£©£¬x¡ÊR£¬
¡àf£¨x£©=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+cosx+2sin²x=-2cos²x+cosx+3=-2£¨cosx-$\frac{1}{4}$£©²+$\frac{25}{3}$£¬
¡ß-1¡Ücosx¡Ü1£¬
¡àµ±cosx=$\frac{1}{4}$£¬f£¨x£©_max=$\frac{25}{3}$£»
£¨3£©¡ßx¡Ê£¨-$\frac{¦Ð}{2}$£¬$\frac{¦Ð}{2}$£©£¬
¡à0£¼cosx¡Ü1£¬
¡ßA£¨1£¬cosx£©£¬B£¨1+cosx£¬cosx£©£¬x¡Ê£¨-$\frac{¦Ð}{2}$£¬$\frac{¦Ð}{2}$£©£¬
¡à$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{5}{3}$£¨1£¬cosx£©-$\frac{2}{3}$£¨1+cosx£¬cosx£©=£¨1-$\frac{2}{3}$cosx£¬cosx£©£¬|$\overrightarrow{AB}$|²=cos²x£¬
¡àg£¨x£©=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+£¨2m+$\frac{2}{3}$£©•|$\overrightarrow{AB}$|=1-$\frac{2}{3}$cosx+cos²x+£¨2m+$\frac{2}{3}$£©cosx=£¨cosx+m£©²+1-m²£¬
µ±m£¼0ʱ£¬µ±cosx=0ʱ£¬f£¨x£©È¡×îСֵ1ÓëÒÑÖªÏàì¶Ü£»
µ±0¡Üm¡Ü1ʱ£¬µ±cosx=mʱ£¬f£¨x£©È¡×îСֵ1-m²£¬µÃ1-m²=$\frac{1}{2}$£¬½âµÃm=$\frac{\sqrt{2}}{2}$£¬
µ±m£¾1ʱ£¬µ±cosx=1ʱ£¬f£¨x£©È¡µÃ×îСֵ2-2m=$\frac{1}{2}$£¬½âµÃm=$\frac{3}{4}$£¨ÉáÈ¥£©£¬
×ÛÉÏËùÊö£¬m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÈýµã¹²ÏßµÄÖ¤Ã÷·½·¨¼°Èý½Çº¯ÊýµÄ×îÖµµÄÔËÓÃÏòÁ¿ÓëÈý½ÇÏà½áºÏ£¬×ÛºÏÐÔ½ÏÇ¿£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮