Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），定义函数f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$．
（1）求|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|的最大值；
（2）当0≤x≤$\frac{2π}{3}$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算以及向量模的计算得到|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|²=13-12cosx，再根据三角形函数的性质即可求出模的最大值；
（2）根据向量的坐标运算和模的计算以及向量的数量积计算，以及三角函数二倍角公式，两角和差公式，以及角的范围得到f（x）=2cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{cos\frac{x}{2}}$，设t=cos$\frac{x}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤t≤1得到f（t）=2t-$\frac{1}{t}$，根据函数的单调性得到函数值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
∴2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（2cos$\frac{3x}{2}$-3cos$\frac{x}{2}$，2sin$\frac{3x}{2}$-3sin$\frac{x}{2}$），
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|²=|2cos$\frac{3x}{2}$-3cos$\frac{x}{2}$|²+|2sin$\frac{3x}{2}$-3sin$\frac{x}{2}$|²=13-12cosx，
∵-1≤cosx≤1，
∴-12≤-12cosx≤12，
∴1≤13-12cosx≤25，
∴1≤|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|²≤5．
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|的最大值为5；
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$-$\frac{x}{2}$）=cosx，
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cosx=4cos²$\frac{α}{2}$，
∴函数f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{cosx}{|2cos\frac{x}{2}|}$=$\frac{2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1}{|cos\frac{x}{2}|}$，
∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴0≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤cos$\frac{x}{2}$≤1，
∴f（x）=2cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{cos\frac{x}{2}}$，
设t=cos$\frac{x}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤t≤1，
∴f（t）=2t-$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=2+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
∴f（$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$-2=-1，
f（1）=2-1=1，
∴f（t）的值域为[-1，1]，
故函数f（x）的值域的为[-1，1]．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、三角函数的值域，函数的单调性，属中档题，通过换元把f（x）转化为二次函数是解决问题的关键，换元时要注意变量范围的等价性，此处易出错．