Question

4．若双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由于双曲线的渐近线与x²+y²-4y+3=0相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：取双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）渐近线bx-ay=0．
∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）渐近线与x²+y²-4y+3=0相切，
∴（x-2）²+y²=1的圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，化为2b=c，
两边平方得c²=4b²=4（c²-a²），化为3c²=4a²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．