Question

（2012•泉州模拟）设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-

1

2

的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f'（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-1时，f′(x)=-2x+

1

x

，f′（1）=-1，由此能求出函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．令f′（x）=0，则x=

- 1 2a

．由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，f′(x)=2x+

1

x

．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能够推导出在区间[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x²+lnx，f′(x)=-2x+

1

x

，f′（1）=-1，
所以切线的斜率为-1．…（2分）
又f（1）=-1，所以切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1）即x+y=0．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．…（6分）
令f′（x）=0，则x=

- 1 2a

．
当x∈(0，

- 1 2a

]时，f′（x）＞0；当x∈(

- 1 2a

，+∞)时，f′（x）＜0．
故x=

- 1 2a

为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为f(

- 1 2a

)=-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)．…（8分）
由题意有-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜-

1

2

，解得a＜-

1

2

．
所以a的取值范围为(-∞，-

1

2

)．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，f′(x)=2x+

1

x

．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵当x∈[1，10]时，g′(x)=2-

1

x2

＞0，∴y=g（x）在[1，10]上为增函数，
即y=f′（x）在[1，10]上为增函数．…（12分）
又f′(10)=2×10+

1

10

=

201

10

，
所以，对任意的x∈[1，10]，总有f′(x)≤

201

10

．
所以f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≤k•f′(10)=

201

10

k，
又因为k＜100，所以

201

10

k＜2010．
故在区间[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k．…（14分）

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．