Question

已知：向量

OA

=（sin

θ

2

，1-cosθ），

OB

=（cos

θ

2

，

1

2

），（O为坐标原点）．
（1）求

OA

•

OB

的最大值及此时θ的值组成的集合；
（2）若A点在直线y=2x+m上运动，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，令θ-

π

4

=

π

2

+2kπ，求出最大值．
（2）将A的坐标代入直线的方程表示出m，利用三角函数的二倍角公式化简m的解析式；再对m的解析式配方，求出m的范围．

解答：解：（1）

OA

•

OB

=

1

2

sinθ-

1

2

cosθ+

1

2

=

2

2

sin(θ-

π

4

)+

1

2

，（4分）
θ-

π

4

=

π

2

+2kπ即{θ|θ=

3π

4

+2kπ}（k∈Z）时，(

OA

•

OB

)max=

2

2

+

1

2

．（9分）
（2）将A点坐标代入直线方程得：
m=1-cosθ-2sin

θ

2

=2sin2

θ

2

 -2sin

θ

2

=2(sin

θ

2

-

1

2

)2-

1

2

∵-1≤sin

θ

2

≤1
∴-

1

2

≤m≤4（14分）

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的和差角公式、二倍角公式、求三角函数最值的方法：整体角处理．