Question

（2011•成都模拟）对函数Φ（x），定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．
（1）当Φ（x）=2^x时
①求f₀（x）和f_k（x）的解析式；
②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；
（2）若Φ（x）=x²，则是否存在正整数k，使得不等式f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义．为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等；
（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明．

解答：解：（1）①f₀（x）=Φ（x））=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
②∵f_k（x）=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函数，
∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为P_k（2k+2，4+3k），
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为P_k+1（2k+4，7+3k），
所以过P_k、P _k+1这两点的直线的斜率为k=

(7+3k)-(4+3k)

(2k+4)-(2k+2)

=

3

2

．同理可得过P_k+1、
P _k+2这两点的直线的斜率也为

3

2

．所以，Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

（2）若Φ（x）=x²，则f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1?（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．当k=1时，x²-2x+1＜0无解，当k≥2时，x²-（k+1）x+1＜0，
得出

k+1- (k+1)2-4

2

＜x＜

k+1+ (k+1)2-4

2

     ①
又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根据

k+1+ (k+1)2-4

2

＜

k+1+ (k+1)2

2

=k+1＜2k，①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．

点评：本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型．关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式，利用单调性写出该函数的最值．掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断．