Question

20．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）
（Ⅰ）若f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，求b²+c²+2的取值范围；
（Ⅱ）在b≥0的条件下，若f（x）的定义域[-1，0]，值域也是[-1，0]，符合上述要求的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质得到判别式△=0，求出b²=4c，代入b²+c²+2，求出其范围即可；
（22）二次函数f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）的对称轴是x=-$\frac{b}{2}$，定义域为[-1，0]，按照对称轴在定义域[-1，0]内、在[-1，0]的左边和在[-1，0]的右边三种情况分别求函数的值域，令其和题目条件中给出的值域相等，求b和c．

解答 解：（1）由于f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，故△=0，
即△=b²-4c=0⇒b²=4c，
则b²+c²+2=c²+4c+2=（c+2）²-4≥-4；
（2）解：设符合条件的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=-$\frac{b}{2}$，
又b≥0，∴-$\frac{b}{2}$≤0．
①当-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2}$≤0，即0≤b＜1时，
函数x=-$\frac{b}{2}$有最小值-1，则 $\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=-1}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c=1}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$（舍去）．
②当-1＜-$\frac{b}{2}$≤-$\frac{1}{2}$，即1≤b＜2时，则 $\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=-1}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）或 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）．
③当-$\frac{b}{2}$≤-1，即b≥2时，函数在[-1，0]上单调递增，则 $\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
综上所述，符合条件的函数有两个，
f（x）=x²-1或f（x）=x²+2x．

点评 本题考查二次函数在特定区间上的值域问题，及分类讨论思想，难度一般．