Question

15．已知关于x的不等式：ax（x-2）≥2x-4（a为实数）
（1）若不等式的解集为R，求a；
（2）解关于x的不等式．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集为R，结合根的判别式，即可求a；
（2）分类讨论，即可解关于x的不等式．

解答 解：（1）不等式：ax（x-2）≥2x-4可化为ax²-（2a+2）x+4≥0，
∵不等式的解集为R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a+2）^{2}-16a≥0}\end{array}\right.$
∴a=1；
 （2）ax²-（2a+2）x+4≥0，可化为（ax-2）（x-2）≥0
①当a=0时，-2x+4≥0，∴不等式的解集为{x|x≤2}；
②当a=1时，x=2，不等式的解集为{2}；
③当a＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$＜x＜2}；
④a＞1时，不等式的解集为{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥2}；
⑤当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x≥$\frac{2}{a}$或x≤2}．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．