Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₅=3S₃-2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=5，S₅=3S₃-2．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_3}={a_1}+2d=5}\\{5{a_1}+10d=3（3{a_1}+3d）-2}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=2^a_n=2^2n-1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2（n+1）-1}}{{2}^{2n-1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}$=2²=4，b₁=2．
∴数列{b_n}是等比数列，公比为4，首项为2．
∴${T_n}=\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{2}{3}（{4^n}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．