Question

已知函数：．
（1）当a=﹣3时，求过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）函数是否存在极值？若有，则求出极值点；若没有，则说明理由．

Answer 1

解：（1）当a=﹣3时，f（x）=﹣x³+1对函数求导可得，f'（x）=﹣3x²
由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f'（1）=﹣3
∴过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程为y=﹣3（x﹣1）
即3x+y﹣3=0
（2）对函数求导可得，f'（x）=ax²+（a+3），
①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增
②当a≤﹣3时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减
③当﹣3＜a＜0，由f'（x）＞0，可得，
即f（x）在（﹣，+）单调递增；
f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，]，[，+∞）单调递减
（3）由（2）得，当﹣3＜a＜0，函数在x=﹣存在极小值，在x=存在极大值