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    已知离心率为
    		3
    2
    的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线
    x2
    3
    -y2=1    的左右焦点，点P是椭圆上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．
    （Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
    （Ⅱ）试判断k1•k2的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
    （Ⅲ）当k1=
    1
    2
    时，圆C2：x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为
    4
    		5
    5
    ，求实数m的值．
    设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．
    分析：（Ⅰ）先利用椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线
    x2
    3
    -y2=1    的左右焦点求出顶点A1，A2的坐标，再利用离心率为
    		3
    2
    即可求椭圆C1的标准方程；
    （Ⅱ）直接利用两点坐标求出k1•k2的值即可判断k1•k2的值是否与点P的位置有关；
    （Ⅲ）先利用（Ⅱ）的结论求出直线PA2的方程，再利用圆心到直线的距离以及弦长和半径之间的关系即可求实数m的值．
    解答：解：（Ⅰ）双曲线
    x2
    3
    -y2=1    的左右焦点为（±2，0）
    即A1，A2的坐标分别为（-2，0），（2，0）．（1分）
    所以设椭圆C1的标准方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，则a=2，（2分）
    且e=
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，所以c=
    		3
    ，从而b2=a2-c2=1，（4分）
    所以椭圆C1的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    1
    =1    ．（5分）

    （Ⅱ）设P（x0，y0）则
    x02
    4
    +
    y02
    1
    =1    ，即y02=1-
    x02
    4
    =
    4-x02
    4
    （6分）
    k1•k2=
    y0-0
    x0-(-2)
    •
    y0-0
    x0-2
    =
    y02
    x02-4
    =-
    1
    4
    ．（8分）
    所以k1•k2的值与点P的位置无关，恒为-
    1
    4
    ． （9分）

    （Ⅲ）由圆C2：x2+y2-2mx=0得（x-m）2+y2=m2，
    其圆心为C2（m，0），半径为|m|，（10分）
    由（Ⅱ）知当k1=
    1
    2
    时，k2=-
    1
    2
    ，
    故直线PA2的方程为y=-
    1
    2
    (x-2)    即x+2y-2=0，（11分）
    所以圆心为C2（m，0）到直线PA2的距离为d=
    |m+2×0-2|
    		12+22
    =
    |m-2|
    		5
    ，
    又由已知圆C2：x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为
    4
    		5
    5
    及垂径定理得
    圆心C2（m，0）到直线PA2的距离d=
    		m2-(
    2
    		5
    5
    )    2
    ，
    所以
    		m2-(
    2
    		5
    5
    )    2
    =
    |m-2|
    		5
    ，即m2+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
    所以实数m的值为1或-2．（14分）．
    点评：本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考查学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•怀化三模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(
    		3
    ，
    		3
    2
    )    ，离心率e=
    1
    2
    ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    )    称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，F1，F2为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，S△DEF2=1-
    		3
    2
    ．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    ）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
    		3
    2
    的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

    现给出下列5个命题①f(
    k
    2
    )=6    ；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(
    k
    2
    ，0)    对称；⑤函数f(m)=3
    		3
    时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

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    科目：高中数学 来源：怀化三模 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(
    		3
    ，
    		3
    2
    )    ，离心率e=
    1
    2
    ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    )    称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

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