Question

若点P在曲线y=x3-3x2+(3-

3

)x+

3

4

上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．

解答：解：∵函数的导数y′=3x²-6x+3-

3

=3（x-1）²-

3

≥-

3

，
∴tanα≥-

3

，又 0≤α＜π，
∴0≤α＜

π

2

或 

2π

3

≤α＜π，
故答案为[0，

π

2

）∪[

2π

3

，π）．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．