Question

已知：函数f(x)=

x2+4

x

，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（-∞，-2）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，
f(-x)=

(-x)2+4

-x

=-

x2+4

x

=-f(-x)，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，-2）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

x12+4

x1

-

x22+4

x2

=

(x1x2-4)(x1-x2)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-2，∴x₁x₂-4＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数．