Question

证明：过抛物线y=a（x-x₁）•（x-x₂）（a≠0，x₁＜x₂）上两点A（x₁，0）、B（x₂，0）的切线，与x轴所成的锐角相等．

Answer 1

分析：本题考查的主要知识点是导数，由过A（x₁，0）、B（x₂，0）两点的切线，与x轴所成的锐角相等，我们可得到两条直线的倾斜角相等或互补，则它们的斜率的绝对值应该相等，故利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可．

解答：解：y′=2ax-a（x₁+x₂），
y′|_x=x1=a（x₁-x₂），即k_A=a（x₁-x₂），
y′|_x=x2=a（x₂-x₁），即k_B=a（x₂-x₁）．
设两条切线与x轴所成的锐角为α、β，
则tanα=|k_A|=|a（x₁-x₂）|，
tanβ=|k_B|=|a（x₂-x₁）|，
故tanα=tanβ．
又α、β是锐角，则α=β．

点评：在解题过程中，由tanα=tanβ不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β．