Question

3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则当CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}．时，S为四边形；当CQ=$\frac{1}{2}$时S为等腰梯形；当CQ=1时，S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，PQ∥AD₁，AP=QD₁，从而得到截面APQD₁为等腰梯形；当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1时，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM；当CQ=1时，取A₁D₁的中点F，连接AF，截面为APC₁F为菱形，由此能求出其面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解答 解：如图，当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，
此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{12+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，
∴当CQ=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1时，
只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，
∴当CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}时，S为四边形；
当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，
由已知得PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，
故其面积为$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故当CQ=1时，S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查平面截正方体所得的截面的形状的判断及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．