Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率k（k≥0）的直线l过椭圆中心O且与椭圆的两个交点从左至右为E，G，与直线l垂直的直线m与椭圆的两个交点，从上至下为F，H，当四边形EFGH为正方形时面积为$\frac{8}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形EFGH的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当四边形EFGH为正方形时面积为$\frac{8}{3}$，G的坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），代入椭圆方程，结合椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）分类讨论，求出面积，利用基本不等式求四边形EFGH的面积S的取值范围．

解答 解：（1）当四边形EFGH为正方形时面积为$\frac{8}{3}$，G的坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{2}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3{b}^{2}}=1$，
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}b$，
∴b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）k≠0，设直线EG的方程为y=kx，代入椭圆方程，可得G（$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$），
同理F（-$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$，$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$），
∴四边形EFGH的面积S=4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）（{k}^{2}+2）}}$=$\sqrt{2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}+5}$≥$\sqrt{5+4}$=3，
k=0时，S=4×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$=2$\sqrt{2}$．
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是[3，+∞）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与 椭圆的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．