Question

设实数x，y满足约束条件 

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则

1

a2

+

1

b2

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：作出不等式组的可行域，将目标函数变形，作出直线由图判断出当直线平移至点A时z最大，列出方程求出ab的值，利用基本不等式求出

1

a2

+

1

b2

最小值．

解答：解：画出不等式组

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的可行域
将z=abx+y变形为y=-abx+z，
由图知，当直线过A点时纵截距最大，z最大
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

得（1，4）代入目标函数，最大值为ab+4
所以ab+4=8
所以ab=4
∴

1

a2

+

1

b2

≥2

1 ab

=1
当且仅当a=b时取等号
故答案为1

点评：利用线性规划求函数的最值关键是给目标函数几何意义；利用基本不等式求函数的最值一定要注意满足的条件：一正、二定、三相等．