Question

双曲线- =1(a＞0,b＞0)的离心率为，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点.

(1)若=5，求直线l的斜率；

(2)证明M、N两点的纵坐标之积为-a².

Answer 1

(1)解：设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),因为双曲线的离心率为，?

所以c=a,b=a，双曲线方程为2x²-y²=2a².                                                     ?

因为=5，所以x₂=c.                                                                               ?

因为直线l:y=k(x-c),?

所以y₂=-.                                                                                                   ?

点Q是双曲线上一点，所以2()²-(-)²=2a²,                                                    ?

整理,得e²-e²k²=2,解得k=±.                                                           ?

(2)证明：设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，?

由已知AP:y=(x+a),AQ:y=(x+a),?

所以y_m=(+a),y_n==(+a).                                                   ?

所以y_my_n=·(+a)²=(+a)².?

由得(2-k²)x²+2k²cx-k²c²-2a²=0,?

所以x₁+x₂=,x₁x₂=,?

y₁y₂=k²(x₁-c)(x₂-c)=k²［x₁x₂-c(x₁+x₂)+c²］=k²，                                       ?

x₁x₂+a(x₁+x₂)+a²=k².                                                                                  ?

所以y_my_n=·=-a².