Question

16．已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，对任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）=f（x•y）成立，若数列{a_n）满足a₁=f（1），且f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，则a₂₀₁₇的值为（　　）

• A． 2²⁰¹⁴-1
• B． 2²⁰¹⁵-1
• C． 2²⁰¹⁶-1
• D． 2²⁰¹⁷-1

Answer 1

分析 当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，则f（k）＞0．可得f（x₂）＞f（x₁）f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．令x=y=1，则f（1）+f（1）=f（1），解得f（1）．数列{a_n）满足a₁=f（1）=0，由f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，利用单调性可得a_n+1=2a_n+1，变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，则f（k）＞0．
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
令x=y=1，则f（1）+f（1）=f（1），解得f（1）=0．
数列{a_n）满足a₁=f（1）=0，
∵f（a_n+1）=f（2a_n+1），n∈N^*，
∴a_n+1=2a_n+1，
变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为1．
则a₂₀₁₇+1=2²⁰¹⁶，因此a₂₀₁₇=2²⁰¹⁶-1，
故选：C．

点评 本题考查了抽象函数的单调性、数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．