Question

（1）已知：对?x∈R，关于x的不等式：mx²+mx+1＞0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）命题p：?x∈R，sinx-cosx＞m，q：?x∈R，m²+mx+1＞0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，m=0，或 ，由此求得实数m的取值范围．
（2）由题意可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．先求得当p真q假时，实数m的取值范围，以及当p假q真时，实数m的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求．
解答：（1）解：∵对?x∈R，关于x的不等式：mx²+mx+1＞0恒成立，∴m=0，或 ．
解得 m=0，或0＜m＜4，故实数m的取值范围为[0，4）．
（2）由题意可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．
若p是真命题，则?x∈R，sin（x-）＞ 成立，
∴＜1，即 m＜2，故实数m的取值范围为（-∞，2）．
若命题q是真命题，则有m=0，或 ．解得 m=0，或0＜m＜4，故实数m的取值范围为[0，4）．
当p真q假时，实数m的取值范围为（-∞，0]，当p假q真时，实数m的取值范围为[2，4）．
综上，所求的实数m的取值范围为（-∞，0]∪[2，4）．
点评：本题主要考查复合命题的真假，一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．