Question

设α为锐角，若cos(α+

π

6

)=

3

5

，则sin(2α+

π

12

)=

31 2

50

．

Answer 1

分析：根据α为锐角，cos(α+

π

6

)=

3

5

为正数，可得α+

π

6

是锐角，利用平方关系可得sin（α+

π

6

）．接下来配角，得到cosα，sinα，再用二倍角公式可得sin2α，cos2α，最后用两角和的正弦公式得到sin(2α+

π

12

)的值即可．

解答：解：因为α为锐角，cos(α+

π

6

)=

3

5

为正数，可得α+

π

6

是锐角，
所以sin（α+

π

6

）=

4

5

，
所以cosα=cos（α+

π

6

-

π

6

）=cos(α+

π

6

)cos

π

6

+sin(α+

π

6

)sin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4+3 3

10

．
sinα=sin（α+

π

6

-

π

6

）=sin(α+

π

6

)cos

π

6

-cos(α+

π

6

)sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．
由此可得sin2α=2sinαcosα=

24+7 3

50

；cos2α=cos²α-sin²α=

24 3 -7

50

．
sin

π

12

=

6 - 2

4

．cos

π

12

=

6 + 2

4

．
所以sin(2α+

π

12

)=sin2αcos

π

12

+cos2αsin

π

12

=

24+7 3

50

×

6 + 2

4

+

24 3 -7

50

×

6 - 2

4

=

31 2

50

．
故答案为：

31 2

50

．

点评：本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．