Question

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由

B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交

点为D．

（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；

（2）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；

（3）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

(1)   (2)在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行  

 (3)证明见解析

解析:

(1)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点B₂的位置，连接A₁B₂，则A₁B₂就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线。                                            ……………………………………1分

设棱柱的棱长为，则B₂C=AC=AA₁＝,

∵CD∥AA₁∴D为CC₁的中点，……………………………2分

在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，

即　解得，……………………4分

∵∴  ……………………………………6分

(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD，则……………………………7分

∵平面，平面  ∴平面，

即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行   ……………………………9分

 (3)连结AD,B₁D ∵≌≌

∴   ∴……………………………11分

  　∵     ∴平面A₁ABB₁      ……………………………13分

又∵平面A₁BD    ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁  ……………………………………14分