Question

如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．
（1）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；
（2）求二面角G-EF-D的余弦值．
（3）若K为△PAD的重心，H在线段EG上，KH∥平面PDC，求出H到面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）连接DE，EQ，利用面面垂直的性质，可得线面垂直，从而可得线线垂直，进而可得线面垂直；
（2）根据CD⊥AD，CD⊥PD，则CD⊥平面PAD，根据中位线可知EF∥CD，从而EF⊥平面PAD，根据二面角平面角的定义可知∠MED为二面角G-EF-D的平面角，在Rt△FDM中，求出此角即可；
（3）证明H到面PAC的距离为G到面PAC的距离的

2

3

，从而可得H到面PAC的距离为B到面PAC的距离的

1

3

，利用等体积，即可求得结论．

解答：（1）证明：连接DE，EQ，
∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD．
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD．
∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC．
在△PDC中，PD=CD，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ
（2）解：由条件知，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以，CD⊥平面PAD，
又EF为三角形PCD的中位线，所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，
即DP⊥EF，MF⊥EF，
所以∠MFD为二面角G-EF-D的平面角，
在Rt△FDM中，DM=DF=1，所以∠MFD=45°，
所以二面角G-EF-D的余弦值为

2

2

（3）解：连接AF，则K在AF上，连接BE，作

BJ

JE

=

2

1

，则

AK

KF

=

BJ

JE

=

2

1

，连接KJ，作

AM

MD

=

BN

NC

=

2

1

，平面MNJK与线段EG交于H，连接KH，则KH∥平面PDC，
∴

HE

GE

=

NC

GC

=

2

3

∴H到面PAC的距离为G到面PAC的距离的

2

3

．
∵G为BC的中点，点G到面PAC的距离又是B到面PAC的距离的

1

2

，
∴H到面PAC的距离为B到面PAC的距离的

1

3

设B到面PAC的距离为h，则由等体积V_B-PAC=V_P-ABC，可得h=

2 3

3

∴H到面PAC的距离为

2 3

9

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，考查点面距离的计算，难度较大．