Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证AB⊥A₁C，而A₁C?平面ACC₁A₁，可先证AB⊥平面ACC₁A₁，根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，可知AB⊥AA₁，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A₁C，则∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A-A₁C-B的余弦值即可．

解答：解：（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AB⊥AA₁，在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁C．
（2）如图，作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A₁C，
∴∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角．
在Rt△AA₁C中，AD=

AA1•AC

A1C

=

3 × 3

6

=

6

2

，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

6

3

，
∴cos∠ADB=

15

5

，
即二面角A-A₁C-B的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．