Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直线B′C与平面ABC成30°角．
（1）求证：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得AC⊥面A'ABB'从而面AB'C⊥面A'ABB'，连接A'B，由已知有A'B⊥AB'，从而可证A'B⊥面AB′C． 
（2）设A'B∩AB'于M，过M作MN⊥B'C于N，则可知∠BNM为二面角B-B'C-A的平面角，在Rt△BMN中，可求．

解答：证明：（1）∵AC⊥AB，AC⊥AA'
∴AC⊥面A'ABB'
∴面AB'C⊥面A'ABB'，（3分）
连接A'B，由已知有A'B⊥AB'，则A'B⊥面AB'C．                       （6分）
（2）设A'B∩AB'于M，过M作MN⊥B'C于N．连BN，由三垂线定理得：BN⊥B'C
∴∠BNM为二面角B-B'C-A的平面角        （10分）
在Rt△BMN中，BM=

2

2

，又B'C与平面ABC成30°角
即∠B′CB=30°∴BC=

3

．
从而BN=

3

2

．sin∠BNM=

BM

BN

=

6

3

为所求．                          （12分）

点评：本题以直三棱柱为载体，考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，属于中档题．