Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA₁、CC₁的中点，P是CD上的点．
（1）求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线PE∥平面A₁BF；
（3）求直线PE与平面A₁BF的距离．

Answer 1

分析：（1）PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，当点P与D重合时，AP最短，由此可求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）证明平面EDC∥平面A₁BF，即可证明直线PE∥平面A₁BF；
（3）直线PE与平面A₁BF的距离等于两平行平面EDC与平面A₁BF的距离，即点A₁到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离，利用V_A-EDC=V_E-CAD，可求直线PE与平面A₁BF的距离．

解答：（1）解：由题意，PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，且tan∠EPA=

AE

AP

当点P与D重合时，AP最短，此时tan∠EPA=

AE

AD

=

1

2

=

2

2

∴直线PE与平面ABC所成角正切值的最大值为

2

2

      …（4分）
（2）证明：如图所示，连接DE、CE，
∵D、E、F分别是所在棱的中点，
∴DE∥A₁B，A₁E∥CF
∴EC∥A₁F
∵DE∩EC=E，A₁B∩A₁F=A₁，
∴平面EDC∥平面A₁BF
∵PE?平面EDC，
∴直线PE∥平面A₁BF；…（8分）
（3）解：由（2）可知，直线PE与平面A₁BF的距离等于两平行平面EDC与平面A₁BF的距离，即点A₁到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离．
设A到平面EDC的距离为h，又CD⊥AB，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面A₁ABB₁
∴ED?平面A₁ABB₁，
∴CD∥ED
∴△CED为直角三角形．
由V_A-EDC=V_E-CAD，得

1

3

•

1

2

•DE•CD•h=

1

3

•

1

2

•AD•CD•AE
∴h=

AD•AE

DE

=

6

3

   …（12分）

点评：本题考查线面角，考查线面平行，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．