Question

已知两点F′（-2，0），F（2，0），点P为坐标平面内的动点，且满足|

F′F

||

FP

|+

F′F

•

F′P

=0．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与轨迹C和⊙F：（x-2）²+y²=1交于四点，自下而上依次记这四点为A、B、C、D，求

AB

•

CD

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由

F′F

=(4，0)，

F′P

=(x+2，y)，得4•

(x-2)2+y2

+4(x+2)=0，化简得轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程得

x=my+2 y2=8x

⇒y2-8my-16=0，由韦过定理和根的判别式能够导出当m=0时，即直线l的方程为x=2，

AB

•

CD

的最小值为9．

解答：解：（1）

F′F

=(4，0)，

F′P

=(x+2，y)
依题意得4•

(x-2)2+y2

+4(x+2)=0，
化简得y²=8x
（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立方程得

x=my+2 y2=8x

⇒y2-8my-16=0，
∴

y1+y2=8m y1•y2=-16

∵△≥0即（8m）²-4•（-16）≥0恒成立
∴

AB

•

CD

=|

AB

||

CD

|=(x1+2-1)(x2+2-1)=(x1+1)(x2+1)
=（my₁+3）（my₂+3）=m²y₁y₂+3m（y₁+y₂）+9
=-16m²+24m²+9=8m²+9，
当m=0时，即直线l的方程为x=2，

AB

•

CD

的最小值为9．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．