Question

【题目】已知函数(其中是自然对数的底数, =2.71828…).

(1)当时,过点作曲线的切线，求的方程；

(2)当时,求证;

(3)求证:对任意正整数,都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）0≤a≤1（3）见解析

【解析】

（1）将 代入，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，再结合切线过点，即可求得切线方程；

（2）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于0即可；
（3）由函数的最小值，构造不等式，令，得出关于正整数n的不等式 ，运用累加法即可证明．

（1）∵当时， ，则，
设切点 ， ，
由点斜式，可得切线方程为

又切线过点，则， ，
∴切线方程为；；

(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a

①当a=0时,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件,

②当0<a≤1时,由f′(x)=0,得x=ln a,

则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,

所以函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,

所以函数f(x)在x=ln a处取得极小值即为最小值,

f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a.

因为0<a≤1,所以ln a≤0,所以-aln a≥0,

所以f(x)min≥0,

所以综上得,当0≤a≤1时,f(x)≥0;

(3)证明:由(2)知,当a=1时,f(x)≥0恒成立,

所以f(x)=ex-x-1≥0恒成立,

即ex≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令,

得,

所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1,

所以(1+)(1+)…(1+)<e.