Question

已知三角形△ABC中，AB=2，AC²+BC²=10，则△ABC面积最大值是

 

．

Answer 1

分析：依题意，利用余弦定理可求得cosC=

3

ab

，再求得sinC，利用三角形的面积公式与基本不等式即可求得答案．

解答：解：三角形△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵c=2，a²+b²=10，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

10-4

2ab

=

3

ab

，
∴sin²C=1-cos²C=1-

9

a2b2

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC，
∴S△ABC2=

1

4

a²b²sin²C=

1

4

a²b²（1-

9

a2b2

）=

1

4

a²b²-

9

4

．
∴4S△ABC2+9=a²b²≤(

a2+b2

2

)2=25（当且仅当a²=b²时取等号），
∴S△ABC2≤4．
∴S_△ABCmax=2．
故答案为：2．

点评：本题考查余弦定理，考查诱导公式与三角形面积公式及基本不等式的综合应用，属于难题．