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已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F₁PF₂= $数学公式$ ，且△PF₁F₂的面积为3 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）．
因为点P在椭圆上，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．…（2分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos $\text{[math]}$ =（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|．…（6分）
又因S_△PF1F2=3 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ |PF₁|•|PF₂|sin $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，得|PF₁|•|PF₂|=12．
所以4c²=4a²-36，又e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故a²=25，c²=16，b²=9，
∴所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．…（12分）
分析：根据点P是椭圆的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF₂|+|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，且△PF₁F₂的面积为3 $\text{[math]}$ ，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该椭圆的方程．
点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和待定系数法求椭圆的标准方程，及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算．

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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，

)，N(-2，

)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求

•

+2|

|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

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已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3

，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是