【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,
,
是等边三角形,且侧面
底面
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连接,交
于
点,连接
,
,得到四边形
是平行四边形,∴
为
的中点.由
为
的中点,可得
,从而证明
平面
.
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示坐标系,
利用向量法能求出平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)连接,交
于
点,连接
,
,
∵且
,
为
的中点,∴
,
,
∴四边形是平行四边形,∴
为
的中点.
∵为
的中点,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
(Ⅱ)连接,∵
为
的边
的中点,∴
,
∵平面底面
,∴
底面
,
∴,
.
∵为
的中点,∴
,∴四边形
为平行四边形,∴
,
∵,∴
,
以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示坐标系,
设,则
,
,
,
∴,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则.即
,
令,得
,
设平面的法向量为
,
则.即
,
令,得
,
设平面与平面
所成二面角的平面角为
(锐角),
则.
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】定义在[﹣1,1]上的奇函数f(x),已知当x∈[﹣1,0]时的解析式f(x)= ﹣
(a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
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【题目】某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一个居民月用电量标准,用电量不超过
的部分按平价收费,超出
的部分按议价收费.为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以
,
,
,
,
,
,
分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)如果当地政府希望使左右的居民每月的用电量不超出标准,根据样本估计总体的思想,你认为月用电量标准
应该定为多少合理?
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【题目】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3万元、2万元,甲、乙产品都需要在两种设备上加工,在每台
上加工1件甲所需工时分别是1
、2
,加工1件乙所需工时分别为2
、1
,
两种设备每月有效使用台时数分别为400
和500
,如何安排生产可使收入最大?
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【题目】已知函数f(x)= ,(a>0).
(1)当a=2时,证明函数f(x)不是奇函数;
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用函数单调性的定义给出证明;
(3)若f(x)是奇函数,且f(x)﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2,2]时恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)= ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本);
(2)要使甲厂有盈利,求产量x的范围;
(3)甲厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
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【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].
则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数 不存在“和谐区间”.
(3)已知:函数 (a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的最大值.
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【题目】已知函数.
(I)讨论函数在
上的单调性;
(II)设函数存在两个极值点,并记作
,若
,求正数
的取值范围;
(III)求证:当=1时,
(其中e为自然对数的底数)
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