Question

【题目】已知椭圆G：，过点作圆的切线交椭圆G于A、B两点．

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为m的函数，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）焦点坐标为，，；

（2），，2．

【解析】

试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的关系式，再利用基本不等式进行求解．

试题解析：（1）由已知得：，所以．

所以椭圆G的焦点坐标为，．

离心率为．

（2）由题意知：．

当时，切线的方程为，点A，B的坐标分别为，，

此时．

当时，同理可得．

当时，设切线的方程为．由，得

．

设A，B两点的坐标分别为，，则

，．

又由与圆相切，得，即．

所以，

由于当时，，

所以，．

因为，且当时，，

所以的最大值为2．