Question

3．（1）已知矩阵M=$（\begin{array}{l}{2}&{a}\\{2}&{1}\end{array}）$，其中a∈R，若点P（1，-2）的矩阵M的变换下得到点P′（-4，0），求矩阵M的特征值及其对应的特征向量；
（2）已知二阶矩阵A=$（\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}）$，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$，属于特征值λ₂=4的一个特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$（\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}）$，求矩阵A．

Answer 1

分析 （1）利用矩阵的乘法，可求实数a的值，根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）由特征值、特征向量定义可知，Aα₁=λ₁α₁，由此可建立方程组，从而可求矩阵A．

解答 解：（1）由$（\begin{array}{l}{2}&{a}\\{2}&{1}\end{array}）$$[\begin{array}{l}{1}\\{-2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-4}\\{0}\end{array}]$，∴2-2a=-4，∴a=3；
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ+1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ₁=-1，λ₂=4，
设λ₁=-1对应的一个特征向量为α=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$
则由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，则y=-1，
∴矩阵M的一个特征值λ₁=-1对应的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=4对应的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．
（2）由特征值、特征向量定义可知，Aα₁=λ₁α₁，
即$（\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$=-1×$（\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}）$，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{c-d=1}\end{array}\right.$
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=12}\\{3c+2d=8}\end{array}\right.$，解得a=2，b=3，c=2，d=1．
因此矩阵A=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$．

点评 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．