Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD；
（2）若二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取线段AB的中点F，连接EF，CF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而证明面CFE∥面PAD，即可证明EC∥平面PAD；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P-A C-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可求a的值，从而可求 $\overrightarrow{n}$，利用向量的夹角公式即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取线段AB的中点F，连接EF，CF．则AF=CD，AF∥CD，
所以四边形ADCF是平行四边形，
则CF∥AD；
又EF∥AP且CF∩EF=F，
∴面CFE∥面PAD，
又EC?面CEF，
∴EC∥平面PAD   …（5分）
（2）解：如图，以C为原点，取AB中点F，$\overrightarrow{CF}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正向，
建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），…（6分）
$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），则$\overrightarrow{m}$为面PAC的法向量．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面EAC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+az=0}\end{array}\right.$
取x=a，y=-a，z=-2，则$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依题意，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则a=1．…（10分）
于是$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-1）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行、线面角，考查向量知识的运用，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确求出平面的法向量，属于中档题．