Question

已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定义域
（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？

Answer 1

（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=

b

x-c

，
由f（1-x）=-f（x+1），得

b

1-x-c

=-

b

x+1-c

，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=

b

2-1

，解得b=-1，
∴f（x）=

-1

x-1

=

1

1-x

，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定义域为{x|x≠1}．
（2）f（x）的单调区间为（-∞，1），（1，+∞）且都为增区间，
证明：当x∈（-∞，1）时，设x₁＜x₂＜1，
则1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

1-x1

-

1

1-x2

=

x1-x2

(1-x1)(1-x2)

，
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增．同理f（x）在（1，+∞）上单调递增．