Question

13．函数$f（x）=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，则$f（\frac{1}{2016}）+f（\frac{2}{2016}）+…+f（\frac{2015}{2016}）+f（\frac{2016}{2016}）$=1009-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 推导出f（x）+f（1-x）=1，从而$f（\frac{1}{2016}）+f（\frac{2}{2016}）+…+f（\frac{2015}{2016}）+f（\frac{2016}{2016}）$=1007+f（$\frac{1}{2}$）+f（1），由此能求出结果．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{{3}^{1-x}}{{3}^{1-x}+\sqrt{3}}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}+\frac{3}{3+\sqrt{3}•{3}^{x}}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+{3}^{x}}$=1，
∴$f（\frac{1}{2016}）+f（\frac{2}{2016}）+…+f（\frac{2015}{2016}）+f（\frac{2016}{2016}）$=1007+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）
=1007+$\frac{{3}^{\frac{1}{2}}}{{3}^{\frac{1}{2}}+\sqrt{3}}$+$\frac{3}{3+\sqrt{3}}$=1007+$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=1009-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$1009-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．