Question

5．已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意的x，y∈[-1，1]，且x+y≠0，都有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）解不等式$f（{x+\frac{1}{2}}）+f（{2x-1}）＜0$；
（3）若f（x）≤m²-2am+2对任意的x∈[-1，1]，m∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义即可证明f（x）在[-1，1]上为增函数，
（2）由（1）可得关于x的不等式组，解得即可，
（3）方法一：即$m+\frac{1}{m}≥2a$对任意m∈[1，2]恒成立，则只需${（{m+\frac{1}{m}}）_{min}}≥2a$，m∈[1，2]即可，构造函数，求出函数的最值即可，
方法二：则只需（m²-2am+1）_min≥0，m∈[1，2]即可．令h（m）=m²-2am+1，m∈[1，2]，其函数图象的对称轴为m=a，分类讨论，求出函数的最值．

解答 解：（1）f（x）在[-1，1]上为增函数．
证明：任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题意知（x₂-x₁）•[f（x₂）+f（-x₁）]＞0，
又∵f（x）为奇函数，
∴（x₂-x₁）•[f（x₂）-f（x₁）]＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上为增函数．
（2）由题意及（1）知，$\left\{\begin{array}{l}-1≤x+\frac{1}{2}≤1\\-1≤1-2x≤1\\ x+\frac{1}{2}＜1-2x\end{array}\right.$，
解得：$0≤x＜\frac{1}{6}$．
故所求不等式的解集为：$\{x|0≤x＜\frac{1}{6}\}$．
（3）由f（x）在[-1，1]上为增函数，知f_max（x）=f（1）=1．
由题意，得1≤m²-2am+2，即m²-2am+1≥0对任意m∈[1，2]恒成立，
法一：即$m+\frac{1}{m}≥2a$对任意m∈[1，2]恒成立，则只需${（{m+\frac{1}{m}}）_{min}}≥2a$，m∈[1，2]即可．
令$g（m）=m+\frac{1}{m}$，m∈[1，2]，易证g（m）在[1，2]上是增函数，
所以g_min（m）=g（1）=2．
故2≥2a，即a≤1．
法二：
则只需（m²-2am+1）_min≥0，m∈[1，2]即可．
令h（m）=m²-2am+1，m∈[1，2]，其函数图象的对称轴为m=a
①当a≤1时，h（m）在[1，2]上是增函数，则h_min（m）=h（1）=2-2a．
∴由2-2a≥0得：a≤1，从而a≤1；
②当1＜a＜2时，${h_{min}}（m）=h（a）=-{a^2}+1$，
∴由-a²+1≥0得：-1＜a＜1，从而a无解；
③当a≥2时，h（m）在[1，2]上是减函数，则h_min（m）=h（2）=5-4a．
∴由5-4a≥0得：$a≤\frac{5}{4}$，从而a无解．
综上所述，a的取值范围为a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题，以及参数的取值范围，是中档题．