Question

若直线3x+4y+m=0与圆ρ=2sinθ有公共点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆的直角坐标方程，最后在直角坐标系中利用直线与圆的位置关系即圆心到直线的距离不大于半径得到关于m的不等式，解此不等式即得实数m的取值范围．

解答：解：圆ρ=2sinθ的直角坐标方程为：
x²+y²-2y=0，圆心（0，1），半径为：1．
又∵直线3x+4y+m=0与圆ρ=2sinθ有公共点，
∴d=

|4×1+m|

9+16

≤1，
解得：m∈[-9，1]．
故答案为：[-9，1]．

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、绝对值不等式的解法、直线与圆相交的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．