Question

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=(

an+1

2

)2
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设bn=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：①求出数列的前若干项，归纳出一般结论，用数学归纳法证明．
③把通项 bn=

1

anan+1

 裂项变为

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），其前n项的和 T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ） 化简可得结果．

解答：解：①在 S_n=(

an+1

2

)2中，令n=1可得，a₁=(

a1+1

2

)2，∴a₁=1． 令n=2 可得，1+a₂=(

a2+1

2

)2，
 a₂ =3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜测a_n=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设   a_k=2k-1，
则由  a_k+1=s_k+1-s_k=(

ak+1+1

2

)2-(

ak+1

2

)2=(

ak+1+1

2

)2-k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

 ），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

 -

1

5

）+（

1

5

- 

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

 ）
=

n

2n+1

．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，用裂项法进行数列求和，裂项求和是解题的难点．