Question

（2012•闵行区一模）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中点E为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD（其中D为OA中点），点P是弧CD上一动点，PM⊥BC，垂足为M，PN⊥AB，垂足为N，则四边形PMBN的周长的最大值为

2

2

+2

．

Answer 1

分析：设∠MBP=α，利用α的三角函数表示出四边形PMBN的周长，再利用辅助角公式化简，即可求得四边形PMBN的周长的最大值．

解答：解：设∠MBP=α，则0≤α≤

π

2

∴BM=cosα，PM=sinα
∴四边形PMBN的周长为2+2（cosα+sinα）=2+2

2

sin（α+

π

4

） 
∵0≤α≤

π

2

∴

π

4

≤α+

π

4

≤

3π

4

∴sin（α+

π

4

）_max=1
∴2+2

2

sin（α+

π

4

）的最大值为2

2

+2
故答案2

2

+2

点评：本题考查圆的方程综合应用，解题的关键是引进角参数，利用三角函数进行求解．