Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8．
（1）求过点Q（3，0）的圆C的切线l的方程；
（2）如图，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为y=k（x-3），由圆心到切线的距离等于半径可得

|-k-3k|

k2+1

=

8

，
解出k值，即得所求的切线方程．
（2）由题意得，NP为AM的垂直平分线，由|CN|+|AN|=2

2

＞2，可知动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2，求出b，待定系数法求点N的轨迹（椭圆）的方程．

解答：解：（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0；
由圆心到切线的距离等于半径可得

|-k-3k|

k2+1

=

8

，8k²+8=16k²，解得k=±1，
从而所求的切线方程为x-y-3=0，和x+y-3=0．
（2）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．
且椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2．∴a=

2

，c=1，b2=1．
∴点N的轨迹是方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，两个向量的数量积的运算，以及用待定系数法求椭圆的标准方程．