Question

已知数列a_n满足a1=1，an+1=(1+cos2

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；并求证：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），（m∈N^*）；
（2）设bn=

a2n

a2n-1

，Sn=b1+b2+…+bn，求证：Sn＜n+

5

3

．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得a₂，a₃和a₄，把2m+1代入题设递推式，利用诱导公式整理求得a_2m+1=2a_2m，同理求得a_2m=a_2m-1+1，进而整理求得a_2m+1+2=2（a_2m-1+2）
（2）根据（1）可判断出数列a_2m-1+2是公比为2的等差数列，进而求得其通项公式，求得a_2m-1，则a_2m可得，进而分n为奇数和偶数求得其通项公式，代入b_n中利用不等式的传递性整理

1

2(-1+3•2n-2)

＜1+

4

3•2n

，最后利用等比数列的求和公式证明原式．

解答：解：（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
证明：a_2m+1=(1+cos2

(2m+1)π

2

)an+sin2

(2m+1)π

2

=2a_2m，
a_2m=a_2m-1+1，则a_2m+1=2a_2m-1+2，
∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2）
证明：（2）由（1）可得：

a2m+1+2

a2m-1+2

=2，数列a_2m-1+2是公比为2的等差数列，
a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1得：a_2m-1=-2+3•2^m-1（m∈N^*），
a2m=

1

2

a2m+1=-1+3•2m-1(m∈N*)，
所以：an=

-2+3•2 n-1 2 ，n为奇数 -1+3•2 n 2 -1，n为偶数

bn=

-1+3•2n-1

-2+3•2n-1

=

-2+3•2n-1+1

-2+3•2n-1

=1+

1

-2+3•2n-1

=1+

1

2(-1+3•2n-2)

而当n≥2时，-1+3•2^n-2≥2，故0＜

1

-1+3•2n-2

＜1
则0＜

1

-1+3•2n-2

＜

1+1

(-1+3•2n-2)+1

=

2

3•2n-2

，
从而

1

2(-1+3•2n-2)

＜

1

3•2n-2

bn＜1+

1

3•2n-2

=1+

4

3•2n

(n≥2，n∈N*)Sn＜2+(1+

4

3•22

)+(1+

4

3•23

)++(1+

4

3•2n

)=n+1+

4

3

•

1 4

1- 1 2

(1-

1

2n-1

)
=n+1+

2

3

(1-

1

2n-1

)=n+

5

3

-

4

3•2n

＜n+

5

3

点评：本题主要考查了数列与三角函数，不等式的综合运用．考查了学生分析推理和运算能力．