Question

【题目】已知数列{}中，，且对任意正整数都成立，数列{}的前n项和为Sn。

（1）若，且，求a；

（2）是否存在实数k，使数列{}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k值，若不存在，请说明理由；

（3）若。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）时，，由等差数列定义知数列是等差数列，由可得，解得，（2）等差数列与等比数列的综合，从等差数列列等量关系：因为数列{}是公比不为1，所以不为等差中项，只需讨论与为等差中项：若为等差中项，则，即，化简得：，解得（舍1）；；同理若为等差中项，（3）则，，从而，所以求和时要重新组合，每两项作为一组，先求是偶数时，

，再求是奇数时，

，

试题解析：（1）时，，，所以数列是等差数列 1分

此时首项，公差，数列的前项和是 3分

故，即，得； 4分

（没有过程，直接写不给分）

（2）设数列是等比数列，则它的公比，所以，， 6分

①若为等差中项，则，即，解得：，不合题意；

②若为等差中项，则，即，化简得：，

解得（舍1）；；

③若为等差中项，则，即，化简得：，

解得；； 9分

综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，； 10分

（3）则，

，， 12分

当是偶数时，

，

当是奇数时，

，也适合上式， 15分

综上可得，． 16分