Question

7．如图，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），C点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形AOEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AO∥BC，且直线BC经过E（2，0），用待定系数法求出BE的解析式为y=x-2，再求出B、C两点的坐标．根据C点坐标得出反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
（2）把y=$\frac{3}{x}$与y=x组成方程组，求出A点坐标．根据勾股定理求出OA、BC的长度，易求梯形AOBC的高，从而求出梯形AOBC的面积．△OBE是等腰直角三角形，腰长是2，易求其面积．再根据四边形AOEC的面积=梯形AOBC的面积-三角形OBE的面积即可算出答案．

解答 解：（1）因为AO∥BC，上底边OA在直线y=x上，
则可设BE的解析式为y=x+b，
将E（2，0）代入上式得，b=-2，
BE的解析式为y=x-2．
把y=1代入y=x-2，得x=3，C点坐标为（3，1），
则反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（2）将y=$\frac{3}{x}$与y=x组成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{3}$，x=-$\sqrt{3}$（负值舍去）．
代入y=x得，y=$\sqrt{3}$，
A点坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
OA=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
BC交y轴于M，M（0，-2），
MC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵M（0，-2），E（2，0），
∴ME=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
设BE边上的高为h，
2$\sqrt{2}$h×$\frac{1}{2}$=2×2×$\frac{1}{2}$，
解得：h=$\sqrt{2}$，
则梯形AOMC高为：$\sqrt{2}$，
梯形AOMC面积为：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=3+$\sqrt{3}$，
△OME的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
则四边形AOEC的面积为3+$\sqrt{3}$-2=1+$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数、勾股定理、以及三角形面积、梯形面积，关键是求出反比例函数解析式，梯形AOBC的高．