Question

已知函数的图象过点，且在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式恒成立，试问这样的m是否存在．若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，利用[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可确定sinθ=1，a=，再由f（1）=，即可求得f（x）的解析式；
（2）由导函数，确定f（x）的单调性．再进行分类讨论，利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，即可求得结论．
解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+xsinθ-2，
由题设可知：，即，∴sinθ≥1，∴sinθ=1．
从而a=，
∴f（x）=x³+x²-2x+c，而又由f（1）=得c=．
∴f（x）=3x³+2x²-2x+3即为所求．
（2）由f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数．
①当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增，故f（x）_max=f（m+3），f（x）_min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=3（m+3）³+2（m+3）²-2（m+3）-3m³-2m²+2m=3m²+12m+2≤2，
得-5≤m≤1．这与条件矛盾，故 不存在．
②当0≤m≤1时，f（x）在[m，1]上递增，在[1，m+3]上递增
∴f（x）_min=f（1），f（x）_max=max{ f（m），f（m+3）}，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+2=3（m+2）²-2＞0（0≤m≤1）
∴f（x）_max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=2恒成立．
故当0≤m≤1时，原不等式恒成立．
综上，存在m∈[0，1]合题意
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，属于中档题．