Question

已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.

Answer 1

的最大值为.

解析试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，
试题解析：由题意知，
令，，则当，恒成立，开口向上，
①当时，，不满足，恒成立，
②当时，则必有     （1）
当对称轴时，即，也即时，有，
则，，则，当，时，.
当对称轴时，即，也即时，
则必有，即，又由（1）知，
则由于，故只需成立即可，
问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.
法一：（三角换元）把条件配方得：，
，所以，
；
法二：（导数）
令 则即求函数的导数,椭圆的上半部分

；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.
综上可知.
考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式