Question

设f（x）=|2-x²|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是

（0，2）

．

Answer 1

分析：由题意可得，-2＜a＜-

2

，0＞b＞-

2

，且a²-2=2-b² ，可得-2-

2

＜a+b＜-

2

，且a²+b²=4，故有 2＜(a+b)2＜6+4

2

．再由（a+b）²=a²+b²+2ab=4+2ab，
以及基本不等式，求出ab的取值范围．

解答：解：当x＜0时，f（x）=|2-x²|=

2-x2 ，  - 2 ＜x＜0 x2-2  ， x≤- 2

，
∴f（x）在（-∞，-

2

）递减；在（-

2

，0）递增．
∵a＜b＜0，且f（a）=f（b），
∴-2＜a＜-

2

，-

2

＜b＜0，且a²-2=2-b²．
故有 -2-

2

＜a+b＜-

2

，且a²+b²=4，故有 2＜(a+b)2＜6+4

2

．
因为（a+b）² =a²+b²+2ab=4+2ab，故有 4＜4+2ab＜6+4

2

，
则得 0＜ab＜1+2

2

．
再由a²+b²=4＞2ab，可得 ab＜2．
综上可得，0＜ab＜2，
故答案为 （0，2 ）．

点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是由题意判断出绝对值内部代数式的符号，利用f（a）=f（b），建立起关于a，b的方程，利用基本不等式求出ab的取值范围，属于中档题．